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一个数学爱好者眼中的竞赛
2017年09月15日

 数学由于其特殊的形式,给人的印象常常是:一批口诀、一堆公式、一串定理,但它们在解决生活及其他学科的问题时又是很有用的。于是多数人就硬着头皮按老师教的学下去。


这样的理解至多对了一半,因为数学还有另一个方面的重要作用,这就是通过对数学知识的介绍,对数学问题的解决,教会人们一种重要的分析问题、解决问题的思想方法。简单地讲,数学要教会人如何进行逻辑推理,如何进行正确的抽象思维,如何在纷繁的事物中抓住主要的联系,并如何使用明确的概念,等等。


引自三十年前丁石孙先生的一段话。丁石孙先生在北大教书育人四十载,在数学界取得了卓越的成就,引领一大批学子冲击数学的顶峰。这段话一直指引着我在数学的道路上摸索前行。

 

 

适逢2017高中联赛刚刚结束,结果还无从得知,因而我的竞赛生涯也暂时告一段落。我算是比较幸运的,在去年做出一点小小的成绩,未必有最好的结果,有奋力的拼搏就足够了。我作为一个数学爱好者,第一次用文字总结竞赛,希望对同学有一点帮助。

 

之前看过的许多书籍,有趣的数学故事,让我一直保持对数学的兴趣和敏感。进入初中的时候,提早学会了很多知识,在初二的时候拿到了期盼已久的金牌,使我有勇气继续前进。我在高一才进入高中竞赛圈,在一定程度上已经落后了许多,回头来看其实初中最后一年在刷题中匆忙地荒废掉了。高二的时候进入省队,虽然实力与高手有一定差距,但最终的结果无法令自己满意,所以2017年学习得更加系统、深入。冬令营的经历是美好的,精英们在雅礼中学汇聚一堂,收获友谊,享受比赛,享受数学。

 

 

许多人认为高中竞赛考的是很高级的知识,其实不然。竞赛是建立在初等数学的基础上,渗透高等数学的思想,包括代数、数论、平面几何和组合四部分知识,又含有丰富的分支,例如函数方程,图论等等。


学问做的是否成功,看过程,看结果,但是竞赛有时会以失败的结果告终,胜利者毕竟是少数人。对数学非常感兴趣的人适合选择这一条道路,过程很坎坷,只有足够的兴趣刺激着自己向前,最终即使没有好的结果,数学也潜移默化地提升了我们很多方面的能力,养成良好的思维方式,养成终身学习的习惯。


高中竞赛考的是“智慧”。一个看起来很复杂的问题,只需简单的一两条“思想”即可解决。而组合代表竞赛里不易分类“有趣的”问题,几乎不运用数学知识,难在思想方法上。


这里举一个经典赛题供阅读思考——今年IMO最难的一道题目,满分7分,各国国手们的平均分却不到0.1分。

 

 

然而这道题只需要一个引理:证明兔子可以在一定步数内将距离由d变为

 

 

其实这个结论也不难证明…难点在于在有限的时间内未必能想到这个引理。这就是题目中奇妙的“窗户纸”,只要捅破就立刻豁然开朗,难题就变成了水题。感兴趣的同学可以尝试证明这个lemma。

       

初等数学并不“初等”,高等数学并不“高等”。这种微妙的分界,不过是两种不同的优美的形式。陈计先生、叶中豪先生在96年出版过一本《初等数学前沿》在很多方面都讲述了近代的生长点,适合高中生作课外读物。处理初等和高等问题的方法往往具有普适性,但是学会高等的知识对于竞赛来说确是有坏处的,所以我只通过渗透的方式读过一部分高数,而且很多内容是高中生很难理解的,那些部分可以留到以后再看吧。如果看过的书上没有自己的批注和演草,是一件非常遗憾的事情。 

 

在国交,除了不会提供国内高联的名额,还是会有非常多的机会参加数学竞赛。我在进入国交之前就参加了AMC,AIME,Waterloo等外国竞赛。但这些考试与IMO等考试的9小时6题模式不同,题目数量较大,有时间限制。知识大多在高中课本里学过,难度相对较低,这些考试不需要大量时间的磨练,积极参加还是很有可能取得好成绩的。AIME难度介于竞赛和课本之间,有大量的计数问题,往往不必在意证明结论。

 

在准备这些考试的时候,简单的题目做的又快又准,较难的题目就需要平时看书积累。代数需要扎实的基本功,而数论需要有较强的推导证明能力,这两部分对于想在竞赛中取得好成绩的学生来说是极其重要的。

 

推荐研究G.H.Hardy写的《AnIntroduction to the theory of Numbers》全面系统,初等数论以及高级理论兼具。几何书我看过《Episode of Geometryin nineteenth and twentieth centuries Euclidean Geometry》,《The Geometry ofRemarkable Elements》也不错。不等式推荐《Secrets in Inequalities》。国外没有竞赛书籍,好处是这些书都可以介绍庞大完整的体系。

 

 

竞赛绝不是课本里那种多刷几套题就能拿高分,做过一道题之后的回味、寻找收获是很关键的,花掉一个小时甚至三个小时去独立解决一个问题之后会受益颇多。在学习过程中,需要注意定理的使用与证明,不可滥用定理,一定要符合逻辑,恰到好处。我在备战联赛的时候,十分注意做题的质量,或许每天只做一套题,但努力让自己达到极佳的状态。

 

从很多成功的例子来看,国手们往往经过自我封闭的一段时间,“开窍”得到迅猛的提高。但是这个过程中,内心是寂寞的,要学会忍耐、沉静。我也深深体会过,做题时三四个小时飞驰而过,心无旁骛,目不窥园。很多夜晚的睡梦里都是在寻找题目的钥匙,醒来时回忆提笔整理出来。

 

最后我衷心感谢所有竞赛教练的付出。竞赛是我高中生涯出彩的一笔,授业解惑的你们让我走得很远。

 

把暂时想到的内容写了出来,无法涵盖所有方面,不足之处请见谅。祝愿所有走上竞赛道路的同学都能找到属于自己的沃土。

      

(文图/王鼎)

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